El omnipresente número pi

Desde el punto de vista geométrico, pi es la relación entre el perímetro de un círculo y su diámetro, es decir, el doble de pi multiplicado por el radio indica la longitud de la circunferencia. Este es un hecho tan fundamental que los matemáticos expresan los ángulos en términos de pi refiriéndose a una vuelta completa con 2π o a media vuelta con π, donde otros dirían 360° o 180°. Si en un restaurante italiano alguien pide pi cuartos de pizza, muy probablemente es matemático (y bastante excéntrico).

Lo que resulta curioso es que pi también aparece con muchísima frecuencia en matemáticas cuando no se atisba nada que sugiera un círculo. Por ejemplo, en problemas de aritmética elemental. Imaginemos un número impar N muy grande; multiplicamos entre ellos los números pares y los impares, respectivamente, hasta N, y a los resultados los llamamos p y q. Pues bien, al elevar al cuadrado p/q y multiplicarlo por el doble de N se obtiene un número que se acerca cada vez más a pi, según crece N. Esta es la fórmula de Wallis, propuesta a mediados del siglo XVII. La fórmula produce aproximaciones muy pobres de pi, a no ser que tomemos N gigantesco: con N=1001 solo se obtienen dos decimales correctos a cambio de un esfuerzo computacional excesivo.

Para obtener estimaciones de pi con una calculadora de bolsillo se puede emplear uno de los llamados métodos de aproximaciones sucesivas para la resolución de ecuaciones: se elige cualquier número entero o decimal entre 1 y 3. Se le suma su seno (con la calculadora en modo radianes) y se repite la operación unas cuantas veces. En breve se obtendrá un flamante 3.14159… Partiendo de 3 obtenemos 10 decimales correctos de pi con solo dos repeticiones.

Alguien podría alegar, con parte de razón, que eso de tener la calculadora en modo radianes, es cosa de matemáticos, como pedir pi cuartos de pizza, y que bajo ese modo de operación está pi agazapado. Tal crítica no afecta al siguiente ejemplo: calculamos 640320 al cubo, le sumamos 744, hallamos el logaritmo neperiano de esa suma y lo dividimos por la raíz cuadrada de 163. El resultado coincide con pi hasta 30 cifras decimales. ¿Qué tienen de particular estos números? ¿Es una casualidad? A fin de cuentas, hay tantos números y tantas maneras de jugar con ellos que es fácil dejarse caer en las trampas de la numerología. Sin embargo, en este caso no solo no es casualidad, sino que existe una explicación muy profunda, que toca ciertos temas que aparecen en la demostración del último teorema de Fermat.

Existen algoritmos muy eficientes para aproximar pi con toda la precisión que deseemos. Por ejemplo, el algoritmo de Salamin-Brent (o Gauss-Legendre) permite obtener 18 cifras decimales correctas con solo tres repeticiones y más de 40 millones de decimales con 25 repeticiones. Dicho sea de paso, Srinivasa Ramanujan, el célebre matemático indio, hizo contribuciones fundamentales al tema.

Pi también es ineludible en la probabilidad y la estadística (que están actualmente más de moda que nunca por el auge de lo que se ha dado en llamar big data), con una aparición notable en la campana de Gauss. No sorprende, entonces, que haya procedimientos “experimentales”, aunque muy poco eficientes, que permiten aproximar pi de forma probabilista. El más clásico es el problema de la aguja de Buffon, cuya solución implica que si trazamos líneas horizontales separadas dos unidades de longitud y lanzamos al azar una aguja de longitud uno, entonces la probabilidad de que toque a alguna de las líneas es uno entre pi.

Quizá no sea tan espectacular para personas sin afición que pi aparezca en matemáticas en sitios donde no se le llama y siempre pueden protestar con el socorrido “¿y a mí qué me importa?” que tanto entristece a los devotos. Sin embargo, basta con que abran un libro de física o de ingeniería para que se convenzan de que pi está escrito por todas partes combinado con algunas constantes físicas universales. En la humilde fórmula del periodo del péndulo simple de la mecánica elemental aparece dividido por la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad; en las ilustres ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general, está dividido por la cuarta potencia de la velocidad de la luz y multiplicado por la constante de gravitación universal ¡menudos compañeros!

A veces, para abreviar, se acumula pi a una constante física. Por ejemplo, la constante de Planck original, asociada a la radiación del cuerpo negro, aparece dividida por el doble de pi en la ecuación de Schrödinger y se la redefine, diciendo que es la constante “reducida”, para no tener que escribir pi por todas partes. A pesar de esta abreviatura, los textos de física cuántica no se libran de que el travieso símbolo de pi asome su tupé por doquier.

Otro ejemplo es la constante de estructura fina, que combina, a escala atómica, los efectos cuánticos y los de la relatividad especial. Cuando en física de altas energías se utilizan las unidades más económicas, las unidades naturales ―que consideran adimensionales las velocidades, los momentos angulares y las cargas―, dicha constante es la cuarta parte del cuadrado de la carga del electrón entre pi. Este ejemplo es totalmente artificial, porque la elección de unidades es puro convenio, pero refleja indirectamente la reverencia científica que se tiene a pi.

Sirva este catorce de marzo, 3/14, de 2022 (que son los decimales en las posiciones de la 17952 a la 17955 de pi) no ya para celebrar un número con dígitos azarosos que fascina a los especialistas desde tiempos inmemoriales, sino la ubicuidad de las matemáticas y el sorprendente poder de una ciencia que actúa sigilosamente, casi como ciencia oculta para el gran público, encarnada en fórmulas, algoritmos e implementaciones ya sea para saciar nuestra sed de conocimiento o para transformar el mundo.

Fernando Chamizo es profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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